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逻辑回归（Logistic Regression）是一种广泛应用于分类任务的机器学习方法。与线性回归不同，逻辑回归专门用于预测类别标签（如0或1），而不是预测连续的数值输出。

逻辑回归的核心思想是通过拟合一个S形曲线来将输入特征向量转化为类别概率。具体来说，逻辑函数通常采用sigmoid函数的变形，例如：

$$ p(y=1|x) = \sigma(\theta_0 + \theta_1 x_1 + \theta_2 x_2 + \dots + \theta_n x_n) $$

其中，$\sigma$ 是sigmoid函数，$\theta$ 是模型参数向量，$x$ 是输入特征向量。通过调整参数$\theta$，模型能够在训练数据上学习分类边界，使得类别概率最大化。

在逻辑回归模型中，分类边界的定义是使得预测概率达到0.5的临界点。例如，若模型参数为$\theta = [-3, 1, 1]$，则分类边界方程为：

$$ x_1 + x_2 + (-3) \geq 0 \Rightarrow x_1 + x_2 \geq 3 $$

在这种情况下，模型会预测$y=1$的概率超过50%的区域位于$x_1 + x_2 \geq 3$的一侧。

需要注意的是，逻辑回归模型的目标函数并非平方误差，而是基于交叉熵的损失函数，这导致优化过程中的目标函数为非凸函数。这使得传统的梯度下降算法难以直接应用。因此，常用的优化方法包括共轭梯度（Conjugate Gradient），Broyden Fletcher Goldfarb Shann（BFGS）算法以及有限内存局部优化方法（LBFGS）。

对于多类别分类问题，逻辑回归需要通过软最大化（Softmax）扩展来处理多于两个类别的情况。这种情况下，模型会输出每类的概率分布，并通过最大化这些概率的对数和来定义新的分类边界。

总的来说，逻辑回归是一种强大的分类工具，广泛应用于文本分类、图像分类以及医疗诊断等场景。通过合理设计特征向量和优化模型参数，逻辑回归能够有效地划分数据空间，实现准确的分类任务。

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